Τα σύνολα στα σύγχρονα μαθηματικά κατέχουν μεγάλη σπουδαιότητα. Στην πραγματικότητα, πολλά από τα μαθηματικά πεδία, όπως οι αριθμοί, οι σχέσεις, οι συναρτήσεις, ορίζονται με βάση τα σύνολα.
Στις αρχές του 20ού αιώνα οι Zermelo και Fraenkel θεμελίωσαν τα σύγχρονα μαθηματικά, προσδιορίζοντας μια σειρά αξιωμάτων, 8 στον αριθμό, που αποτελούν το αλφάβητο, τη γραμματική και το συντακτικό για τη γλώσσα των μαθηματικών.
Δύο από αυτά τα αξιώματα τα θεωρώ εξαιρετικά σπουδαία:
1) Το αξίωμα του κενού συνόλου: «υπάρχει ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και είναι μοναδικό αυτό το σύνολο».
και
2) Το αξίωμα του ζευγαρώματος: «αν έχουμε δυο ή περισσότερα στοιχεία τότε υπάρχει ένα σύνολο που περιέχει τα στοιχεία αυτά».
Με αυτά τα αξιώματα και με το αξίωμα του απείρου ορίζονται οι πολύ γνωστοί στην καθημερινότητά μας φυσικοί αριθμοί. Πώς; Να πως:
∅ := 0
(όπου το "∅" είναι το κενό σύνολο, ":=" είναι το ορίζω και "0" είναι το μηδέν, άρα η παραπάνω μαθηματική φράση με λόγια θα ήταν «το κενό σύνολο το ορίζω ως το μηδέν»)
∅ U {∅} = 0 U {0} := 1
(όπου "U" σημαίνει μαζί και "{}" σημαίνει σύνολο, οπότε η παραπάνω μαθηματική φράση με λόγια θα ήταν «το μηδέν μαζί με το σύνολο που περιέχει το μηδέν, το ορίζω ως το ένα», ή αλλιώς με πιο πολλά λόγια το ίδιο πράγμα θα το έλεγα ως εξής: «το κενό σύνολο μαζί με το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο το ορίζω ως το ένα»)
1 U { ∅ U{∅} } = 1 U { 1 } := 2
(όπου η μαθηματική φράση αυτή θα ήταν «το ένα μαζί με το σύνολο που περιέχει το ένα το ορίζω ως το δύο» ή αλλιώς με ακόμα πιο πολλά λόγια: «(το κενό σύνολο μαζί με το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο) μαζί με το σύνολο που περιέχει (το κενό σύνολο μαζί με το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο), το ορίζω ως το δύο»)
Και ούτω καθ’ εξής για το 3, 4, 5…
Τι έγινε δηλαδή αγαπητοί μου; Από το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο που δεν περιέχει τίποτα, φτάσαμε να δημιουργήσουμε τους άπειρους αριθμούς! Με άλλα λόγια από το τίποτα, φτάσαμε να μιλάμε για το άπειρο… Ανθρώπινο μυαλό τι έχεις πλέξει και -πολύ περισσότερο- πού μας έχεις μπλέξει;!
Ακόμα πιο αναλυτικά ας δούμε όμως αυτήν την συναρπαστική πορεία του ανθρώπινου νου.
Βήμα 1. Το "τίποτα" ο άνθρωπος το έκλεισε σε σύνολο και το ονόμασε "το σύνολο που περιέχει το τίποτα", δηλαδή το κενό σύνολο. Αυτό το έκανε, γιατί δομικά το μυαλό μας αρέσκεται να ομαδοποιεί και να βάζει τις πληροφορίες σε κουτάκια-σύνολα. Έτσι, απλοποιεί τα πράγματα και τα ερεθίσματα με τα οποία βομβαρδίζεται, εξοικονομώντας χρόνο και ενέργεια. Υπακούει συνεπώς, και στο νόμο της φυσικής εξέλιξης (που θέλει να έχει εξελικτικό προβάδισμα ένα ζώο που μπορεί να αντιλαμβάνεται ταχύτατα εχθρούς και φίλους του περιβάλλοντός του και να κατατάσσει επεξεργαζόμενο με πολύ λίγες σκέψεις τα ερεθίσματα που δέχεται), αλλά και στο νόμο της φυσικής (σκέτο) που θέλει να τηρείται η αρχή της ελάχιστης ενέργειας. Στην πραγματικότητα ο νόμος της φυσικής περί ελάχιστης ενέργειας, είναι ενταγμένος στο νόμο της βιολογίας περί φυσικής εξέλιξης.
Βήμα 2. Με βάση το αξίωμα του ζευγαρώματος, ο ανθρώπινος νους, (και εδώ ίσως κάνει το πιο μεγάλο και μαγευτικό του άλμα), όταν έχει να παίξει με ένα μόνο παιχνίδι-σύνολο (το κενό σύνολο, το οποίο μην ξεχνάμε ότι είναι μοναδικό, υπάρχει σε μια κόπια δηλαδή εξ’ ορισμού), αντί να πλήξει και να παίζει μονότονα με αυτό, φαντάζεται ότι το παίρνει δυο φορές, σαν να ήταν δυο διαφορετικά παιχνίδια και τα παίζει μεταξύ τους! Αυτό οφείλεται στην συναρπαστική αφαιρετική ικανότητα του ανθρώπινου μυαλού. Δηλαδή τι έκανε ο άνθρωπος; Πήρε μια φορά το κενό σύνολο και το ξαναπήρε και δεύτερη φορά στο μυαλό του, σαν να έπαιρνε ένα άλλο σύνολο, (μόνο που τότε, στις απαρχές του αυτοπροσδιορισμού μας ως ανθρώπινο είδος, δεν γνωρίζαμε άλλο παιχνίδι εξόν από το ένα και μοναδικό "κενό σύνολο") και έπαιξε σαν να είχε δυο παιχνίδια! Φοβερό; Έτσι έπλασε έναν δικό του κόσμο, αυτό του ζευγαρώματος και του ταιριάσματος, που του επέτρεπε να παίρνει ό,τι θέλει όσες φορές το θέλει και σε όσους συνδυασμούς το θέλει. Άρα με βάση το αξίωμα του ταιριάσματος, ο άνθρωπος παίρνοντας μια φορά το κενό σύνολο και ξαναπαίρνοντας αφαιρετικά το ίδιο κενό σύνολο, παίρνοντας δηλαδή δύο φορές το ίδιο στοιχείο, (που στο μυαλό μας ανάγεται σαν να παίρνουμε δυο στοιχεία διαφορετικά) μπορεί να φτιάξει ένα νέο σύνολο, πάλι σκεφτόμενο με διάθεση απλοποίησης και γκρουπαρίσματος, που να περιέχει αυτά τα δυο στοιχεία. Το μυαλό προφανώς μετράει, με μια συμπεριφορά σύγχρονου οικονομολόγου που θέλει να έχει το ελάχιστο (ενεργειακό) κόστος, ότι σκέφτηκε-λειτούργησε δυο φορές (άρα κατανάλωσε ενέργεια δυο φορές), για να παίξει αυτό το όχι και τόσο σαχλό παιχνίδι, ασχέτως αν σκέφτηκε το ίδιο πράγμα και τις δυο φορές. Έκανε «κάτι» δυο φορές. Αυτό, από μόνο του όμως, αποτελεί ερέθισμα για το μυαλό μας, ώστε να θέλει να γκρουπάρει αυτό το παιχνιδάκι, και αν είναι δυνατόν να έχουμε μία πληροφορία που να αναφέρεται σε αυτό και όχι δυο πληροφορίες να μας ζαλίζουν την όμορφη ζωούλα μας, προς απλοποίησιν της οποίας γίνονται όλα... Άρα, αν πάρουμε κάτι δυο φορές, μπορούμε να το γκρουπάρουμε σε ένα νέο ευρύτερο σύνολο, που να χωρά και τα δυο αυτά στοιχεία, αλλά επειδή πρόκειται για το ένα και μοναδικό στοιχείο που λέγεται "κενό σύνολο", το να το πάρουμε δυο φορές, ουσιαστικά δίνει γέννηση σε ένα νέο σύνολο που περιέχει απλώς σαν μοναδικό "πραγματικό" στοιχείο, το ίδιο το κενό σύνολο. Συνεπώς, θεωρώ ότι η συνειδητοποίηση του συμβόλου {∅} είναι κομβική για την πορεία της ανθρώπινης σκέψης. Η ίδια διαδικασία αναπαράγεται και στο σύμβολο {1}, {2}, {3} κοκ.
Βήμα 3. Ο ανθρώπινος νους λοιπόν, ξεκίνησε από το τίποτα, δημιούργησε αφαιρετικά δομές και καταστάσεις που του επέτρεψαν να δημιουργήσει κάτι (που το κάτι στην ουσία είναι η ενασχόληση με το τίποτα), αυτό το κάτι μετά το έκανε βάση για να πατήσει πάνω του και να χτίσει ένα νέο κάτι και μετά να ξαναπατήσει πάνω του και να ξαναχτίσει ένα νέο κάτι. Ακολουθώντας αυτήν την μαγευτικά απλή μαθηματική ακολουθία δημιουργίας, κατόρθωσε το «τίποτα» να το ανάγει στα «πάντα» για την καθημερινότητά του. Θαυμάστε αυτό το ζούδι, (όπως λέμε και στο χωριό μου) και την απλούστατη πολυπλοκότητά του!
Ένα σχόλιο όμως ακόμα: ο άνθρωπος στο βήμα 2, προσπάθησε να ζευγαρώσει και να συνταιριάξει την ίδια του τη σκέψη. Αν και η διαδικασία αυτή ονομάζεται αφαιρετική, νομίζω ότι είναι τρομερά προσθετική σε αυτό που λέμε ανθρώπινη κοινωνία. Ο άνθρωπος κύριοι, έχει μέσα στο μυαλό του (ή στην ψυχή του αν αυτή η λέξη σας κρατά σε μεγαλύτερη συναισθηματική ισορροπία μέσα σας), το ζευγάρωμα, το γκρουπάρισμα, το από κοινού, το όμοιο. Κάπου εκεί έχει και την εξήγησή του και το ζευγάρωμα των ανθρώπων μεταξύ τους, οι οποίοι ψάχνουν το από κοινού και το όμοιο. Ο άνθρωπος, ζευγάρωσε την σκέψη του με την ίδια του τη σκέψη και έφτιαξε το δικό του σύμπαν, που λέγεται καθημερινότητα, για να αντιμετωπίσει το πραγματικό χάος του πραγματικού σύμπαντος που τον περιβάλλει και έτσι να αντισταθεί στην εντροπία. Ο άνθρωπος κατ’επέκταση, ζευγάρωσε την ύπαρξή του με μία ακόμα ίδια ύπαρξη, έναν ακόμη άνθρωπο, ακριβώς για τον ίδιο λόγο: για να αντισταθεί στο παρανάλωμα της φθαρτής του φύσης. Άντρας και γυναίκα, αρσενικό και θηλυκό, είναι εκ φύσεως προδιαγεγραμμένο να αναζητιούνται και να αποτελούν ίδια στοιχεία ενός συνόλου, του συνόλου που με λόγια έχουμε ορίσει ως ζωή. Άντρες και γυναίκες λοιπόν, δεν διαφέρουν, είναι ο ένας το αφαιρετικό αποτύπωμα του άλλου, που μαζί (U), από κοινού, όμοια, προσπαθούν να αντισταθούν. Η θρησκεία των χριστιανών αυτό το περιέγραψε με την απλοϊκή εικόνα της δημιουργίας της Εύας από τα πλευρά του Αδάμ. Η βιολογία αυτό το έχει περιγράψει ως τον αυτοδιπλασιασμό του DNA. Το ίδιο πράγμα με τον διπλασιασμό του DNA δεν είναι εξάλλου ο διπλασιασμός της ίδιας μας της σκέψης, (αφαιρετικά όπως εξηγήσαμε ανωτέρω); Αν το {∅} δεν είναι το παιδί αυτής της αυτοδιπλασιαζόμενης σκέψης περί κενού, τότε τι είναι;
Υ.Γ.1: Πρωτοσυνειδητοποίησα, σχεδόν έντρομος, την έννοια της αφαίρεσης, όταν κάπου στην Α’ Γυμνασίου, η καθηγήτρια μαθηματικών μας ρώτησε: ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, σε πόσες ευθείες ανήκει. Όταν κανείς δεν απαντούσε στην τάξη, εγώ τράβηξα μια ευθεία που να περνά από τα σημεία Α και Β, και μετά με τον ίδιο χάρακα και τον ίδιο στυλό, ξανατράβηξα άλλη μια ευθεία πάνω στην ήδη υπάρχουσα ευθεία που είχα σχεδιάσει! Έτσι ήταν σαν να έβαλα δυο ευθείες, την μια καβάλα στην άλλη να κείτονται εκεί μπροστά μου. Οπότε απάντησα στο ερώτημα: άπειρες ευθείες έχουν αυτό το ευθύγραμμο τμήμα! Είχα βάλει, αφαιρετικά σκεφτόμενος, πολλές ευθείες να στοιβάζονται όλες σε άπειρο βάθος στο χαρτί. Κοιτώντας τες όμως σε προφίλ διάταξη, έβλεπα μόνο τις διαστάσεις της μίας και μοναδικής ευθείας που έκρυβε πολύ καλά από κάτω της όλες τις υπόλοιπες…
Υ.Γ.2: Πρωτοσυνειδητοποίησα, σχεδόν γαλήνιος, την έννοια του "τίποτα", όταν ένα καλοκαιρινό βράδυ, καθόμουν με φίλο αδερφικό στο Θησείο, απέναντι από την Ακρόπολη, και συζητούσαμε. Τότε, ψάχνοντας το νόημα της ζωής, ήρθαμε αντιμέτωποι με την σκέψη ότι δεν υπάρχει νόημα από μόνο του, αλλά ότι το φτιάχνεις εσύ. Υπάρχει μόνο το "τίποτα". Το τίποτα μαζί με τον άνθρωπο όμως αρκούν για να φτιαχτούν τα πάντα. Με άλλα λόγια, διαπιστώσαμε ότι δεν υπάρχει νόημα, αλλά κάτι άλλο, πολύ πιο όμορφο και δυνατό, που ακούει στο όνομα νοηματοδότηση. Εκείνο το βράδυ, μάλλον γαληνεμένοι από την κουβέντα, καθυστερήσαμε και έτσι έχασα για μόλις 5 λεπτά το τρένο που είχα κλείσει για Θεσαλλονίκη, οπότε έπρεπε να πάρω το επόμενο... Θυμάσαι ξιφομάχε; Χαχαχα!
Το Post αυτό αφιερώνεται σε έναν φίλο μαθηματικό και μιας και μιλάμε για σύνολα και συναισθήματα του αφιερώνω το κάτωθι:
